Свойства плотности распределения
Для начала напомним, что такое плотность распределения:
Рассмотрим свойства плотности распределения:
Свойство 1: Функция $\varphi (x)$ плотности распределения неотрицательна:
Доказательство.
Мы знаем, что функция распределения $F(x)$ - неубывающая функция. Из определения следует, что $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, а производная неубывающей функции -- есть функция неотрицательная.
Геометрически это свойство означает, то график функции $\varphi \left(x\right)$ плотности распределения находится либо выше, либо на самой оси $Ox$ (рис. 1)
Рисунок 1. Иллюстрация неравенства $\varphi (x)\ge 0$.
Свойство 2: Несобственный интеграл от функции плотности распределения пределах от $-\infty $ до $+\infty $ равен 1:
Доказательство.
Вспомним формулу для нахождения вероятности того, что случайная величина попадет интервал $(\alpha ,\beta)$:
Рисунок 2.
Найдем вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(-\infty ,+\infty $):
Рисунок 3.
Очевидно, что случайная величина всегда попадет в интервал $(-\infty ,+\infty $), следовательно, вероятность такого попадания равна единице. Получаем:
Геометрически, второе свойство означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции плотности распределения $\varphi (x)$ и осью абсцисс численно равна единице.
Можно также сформулировать обратное свойство:
Свойство 3: Любая неотрицательная функция $f(x)\ge 0$, удовлетворяющая равенству $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)dx}=1$ является функцией плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины.
Вероятностный смысл плотности распределения
Придадим переменной $x$ приращение $\triangle x$.
Вероятностный смысл плотности распределения: Вероятность того, что непрерывная случайная величина $X$ примет значения из интервала$(x,x+\triangle x)$, приближенно равна произведению плотности распределения вероятности в точке $x$ на приращение $\triangle x$:
Рисунок 4. Геометрическая иллюстрация вероятностного смысла плотности распределения непрерывной случайной величины.
Примеры решения задач с использованием свойств плотности распределения
Пример 1
Функция плотности распределения вероятности имеет вид:
Рисунок 5.
- Найти коэффициент $\alpha $.
- Построить график плотности распределения.
- Рассмотрим несобственный интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}$, получаем:
Рисунок 6.
Используя свойство 2, получим:
\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac{1}{2}.\]
То есть, функция плотности распределения имеет вид:
Рисунок 7.
- Построим её график:
Рисунок 8.
Пример 2
Функция плотности распределения имеет вид $\varphi \left(x\right)=\frac{\alpha }{chx}$
(Напомним, что $chx$ -- гиперболический косинус).
Найти значение коэффициента $\alpha $.
Решение. Используем второе свойство:
\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\alpha }{chx}dx}=1,\] \[\alpha \int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}=1,\] \[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}={\mathop{lim}_{a\to -\infty } \int\limits^0_a{\frac{dx}{chx}}\ }+{\mathop{lim}_{b\to +\infty } \int\limits^b_0{\frac{dx}{chx}}\ }\]
Так как $chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, то
\[\int{\frac{dx}{chx}}=2\int{\frac{dx}{e^x+e^{-x}}}=2\int{\frac{de^x}{{1+e}^{2x}}}=2arctge^x+C\]
\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}={\mathop{lim}_{a\to -\infty } \left(-2arctge^a\right)\ }+{\mathop{lim}_{b\to +\infty } \left(2arctge^b\right)\ }=\pi \]
Следовательно:
\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac{1}{\pi }\]
Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (часто ее называют дифференциальной функцией ).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) - первую производную от функции распределения F (x) :
f (x)= F" (x).
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема . Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :
Зная плотность распределения f(x) , можно найти функцию распределения F (х) по формуле
.
Свойства плотности распределения:
Свойство 1.
Плотность распределения - неотрицательная функция: 
.
Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох , либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения .
Свойство 2
. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от 
до 
равен единице:
.
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.
В частности, если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b ), то
.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако он зачастую неизвестен заранее и приходится пользоваться косвенными сведениями. Во многих случаях этих косвенных характеристик вполне достаточно для решения практических задач и определять закон распределения не нужно. Такие характеристики называют числовыми характерис тиками случайной величины. И первой из них является математическое ожидание.
Математическим ожиданиемдискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений (x 1 , x 2 , …, x n ) на их вероятности (p 1 , p 2 , …, p n ):
Следует заметить, что M (x ) есть неслучайная (постоянная) величина. Можно доказать, что M (x ) приближенно равно (и тем точнее, чем больше число испытаний n ) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Математическое ожидание имеет следующие свойства :
· Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
.
· Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
· Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y (т.е. закон распределения одной из них не зависит от возможных значений другой) равно произведению их математических ожиданий:
· Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Здесь под суммой X + Y случайных величин понимается новая случайная величина, значения которой равны суммам каждого значения X с каждым возможным значением Y ; вероятности возможных значений X + Y для независимых случайных величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых – произведениям вероятностей одного слагаемого на условную вероятность другого. Так, если X и Y – независимы и их законы распределения
· Если производится n независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность события A постоянна и равна p , то математическое ожидание числа появлений события A в серии:
.
Отметим, что свойства третье и четвертое легко обобщаются для любого количества случайных величин.
Дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожидание – удобная характеристика, но часто ее недостаточно для суждения о возможных значениях случайной величины или о том, как они рассеяны вокруг среднего значения. Поэтому вводятся и другие числовые характеристики.
Пусть X – случайная величина с математическим ожиданием M (X ). Отклонением X 0 назовем разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:
.
Математическое ожидание отклонения M (X 0) = 0.
Пример. Пусть задан закон распределения величины X :
Отклонение является промежуточной характеристикой, на основе которой введем более удобную характеристику. Дисперсией (рассеиванием ) дискретной случайной величиныназывается математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:
Для примера найдем дисперсию величины X со следующим законом распределения:
Здесь . Искомая дисперсия:
Величина дисперсии определяется не только значениями случайной величины, но и их вероятностями. Поэтому в случае если две случайные величины имеют одинаковые или близкие математические ожидания (это достаточно часто встречается), то дисперсии, как правило, различны. Это позволяет дополнительно характеризовать изучаемую случайную величину.
Перечислим свойства дисперсии:
· Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
· Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
· Дисперсия суммы и разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
· Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность P появления события постоянна , определяется по формуле:
,
где 
– вероятность непоявления события.
Удобной вспомогательной характеристикой, используемой в расчетах даже чаще, чем D (X ), является среднеквадратическое отклонение (или стандарт ) случайной величины:
.
Дело в том, что D (X ) имеет размерность квадрата размерности случайной величины, а размерность стандарта X ) та же, что и у случайной величины X . Это очень удобно для оценки разброса случайной величины.
Пример. Пусть случайная величина задается распределением:
| X | 2м | 3м | 10м |
| P | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
Рассчитываем: м,
а стандарт: м.
Поэтому про случайную величину X
можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с разбросом 
м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.
Отметим, что для суммы n независимых случайных величин:
Начальные и центральные теоретические моменты
Для большинства практических расчетов введенных выше числовых характеристик M X ),D X )и X ) достаточно. Однако для исследования поведения случайных величин можно использовать и некоторые дополнительные числовые характеристики, позволяющие отследить нюансы поведения случайной величины и обобщить вышеизложенную теорию.
Начальным моментомk-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины X k :
1.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Функция распределения непрерывной случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины. В этом вопросе мы рассмотрим плотность распределения вероятности и её свойства.
Пусть
имеется непрерывная случайная величина
Х
с функцией распределения
.
Вычислим вероятность попадания этой
случайной величины на элементарный
участок
:
Составим отношение
этой вероятности к длине участка
:
Полученное отношение называется средней вероятностью, которая приходится на единицу длины этого участка.
Считая
функцию распределения F
(х)
дифференцируемой,
перейдем в равенстве (1) к пределу при
;
тогда получим:
Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от х до х+∆х к длине этого участка ∆х , когда ∆х стремится к нулю, называется плотностью распределения случайной величины в точке х и обозначается f (x ).
В силу равенства (2) плотность распределения f (х) равна производной от функции распределения F (х), т. е.
.
Смысл плотности распределения f (х) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.
Кривая, изображающая плотность распределения f (х) случайной величины, называется кривой распределения. Примерный вид кривой распределения представлен на рис.1.
Заметим, что если возможные значения случайной величины заполняют некоторый конечный промежуток, то плотность распределения f (x ) = 0 вне этого промежутка.
Выделим
на оси абсцисс элементарный участок
∆х
,
примыкающий к точке х
(рис.
2), и найдем вероятность попадания
случайной величины X
на
этот участок. С одной стороны, эта
вероятность равна приращению
функции
распределения F
(х),
соответствующему
приращению ∆
x
=
dx
аргумента
х.
С
другой
стороны, вероятность попадания случайной
величины X
на
элементарный участок dx
с
точностью
до бесконечно малых высшего порядка,
чем ∆х
равна f
(x
)
dx
(так
как ∆
F
(x
)≈
dF
(х) =
f
(x
)
dx
).
Геометрически
это есть площадь элементарного
прямоугольника с высотой f
(x
)
и
основанием dx
(рис.
2). Величина f
(x
)
dx
называется
элементом
вероятности..
Следует обратить внимание на то, что не все случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, являются непрерывными случайными величинами. Встречаются такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы. Такие случайные величины называются смешанными. Так, например, в задаче обнаружения сигнала в шумах амплитуда полезного сигнала является смешанной случайной величиной X , которая может принимать любое значение, как положительное, так и отрицательное.
Дадим теперь более строго определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F (х\ непрерывна на всей оси Ох, а плотность распределения f (x ) существует везде, за исключением, быть может, конечного числа точек.
Рассмотрим свойства плотности распределения.
Свойство
1.
Плотность
распределения неотрицательна,
т.
е.
Это
свойство непосредственно вытекает из
того, что плотность распределения
есть производная от неубывающей функции
распределения F
(x
).
Свойство 2 . Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от – ∞ до х, т. е.
.
(3)
Свойство
3.
Вероятность
попадания непрерывной случайной величины
X
на участок
равна
интегралу от плотности распределения,
взятому по этому участку,
т.
е.
.
(4)
Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
.
Если
интервал возможных значений случайной
величины имеет конечные пределы а
и
b
,
то
плотность распределения f
(х)
=
0 вне промежутка
и
свойство 4 тогда можно записать так:
.
Пример . Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью
.
Требуется:
1) Найти коэффициент а.
2) Найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до .
Решение . 1) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством 4 плотности распределения:
,
откуда
.
2) По формуле (4) имеем:
.
Модой
непрерывной случайной величины Х
называется то её значение, при котором
плотность распределения максимальна.
Медианой
непрерывной случайной величины Х
называется такое её значение, для
которого равновероятно, окажется ли
случайная величина меньше или больше
,
то есть:
Геометрически мода является абсциссой той точки кривой распределения, ордината которой максимальна (для дискретной случайной величины модой является абсцисса точки полигона с максимальной ординатой).
Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь ограниченная кривой распределения, делится пополам.
Заметим, что если распределение является одномодальным и симметрическим, то математическое ожидание, мода и медиана совпадают.
Отметим также, что
третий центральный момент
или асимметрия служит характеристикой
«скошенности» распределения. Если
распределение симметрично относительно
математического ожидания, то для кривой
распределения (гистограммы)
.
Четвертый центральный момент
служит для характеристик островершинности
или плосковершинности распределения.
Эти свойства распределения описываются
с помощью так называемого эксцесса.
Формулы для нахождения асимметрии и
эксцесса были нами рассмотрены на
предыдущей лекции.
2.Нормальное распределение
Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон или закон распределения Гаусса, плотность вероятности которого имеет вид:
,
(5)
где
– параметры нормального распределения.
Так как нормальное
распределение зависит от двух параметров
и
,
то его называют ещё двухпараметрическим
распределением.
Нормальный закон распределения применяется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие.
Докажем, что в
формуле (5) параметр а
является
математическим ожиданием, а параметр
– среднеквадратическим отклонением:
.
Первый из интегралов равен нулю, так как подынтегральная функция является нечетной. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона:
.
Вычислим дисперсию:
.
График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса (рис.3).
Отметим некоторые свойства кривой:
1.Функция плотности
распределения вероятностей определена
на всей числовой оси, то есть
.
2.Область значений
функции
,
то есть кривая Гаусса располагается
выше оси абсцисс и не пересекает её.
3. Ветви кривой
Гаусса асимптотически стремятся к оси
,
то есть
4.Кривая симметрична
относительно прямой
.
Таким образом для нормального распределения
математическое ожидание совпадает с
модой и медианой распределения.
5.Функция имеет
один максимум в точке с абсциссой
,
равный
.
С возрастанием
кривая Гаусса становится более пологой,
а при убывании
– более «островершинной».
6. Кривая Гаусса
имеет две точки перегиба с координатами
и
.
7.Если при неизменном
изменять математическое ожидание, то
кривая Гаусса будет сдвигаться вдоль
оси
:
вправо – при возрастании а
, и влево
– при убывании.
8.Асимметрия и эксцесс для нормального распределения равны нулю.
Найдем вероятность
попадания случайной величины,
распределенной по нормальному закону
на участок
.
Известно, что
.
.
Пользуясь заменой переменной
,
.
(6)
Интеграл
не выражается через элементарные
функции, поэтому для вычисления интеграла
(6) пользуются таблицами значений
специальной функции, которая называется
функцией Лапласа
, и имеет вид:
.
После несложных
преобразований получим формулу для
вероятности попадания случайной величины
на заданный промежуток
:
.
(7)
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1.
.
2.
является нечетной функцией.
3.
.
График функции распределения приведен на рис.4.
Пусть требуется
вычислить вероятность того, что отклонение
нормально распределенной случайной
величины Х
по абсолютной величине
не превосходит заданного положительного
числа
,
то есть вероятность осуществления
неравенства
.
Воспользуемся формулой (7) и свойством нечетности функции Лапласа:
.
Положим
и выберем
.
Тогда получим:
.
Это означает, что
для нормально распределенной случайной
величины с параметрами а
и
выполнение неравенства
является практически достоверным
событием. В этом заключается так
называемое правило «трех сигм».
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие . Любая количественная характеристика , которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Пусть -
произвольное вероятностное пространство. Случайной
величиной
называется действительная числовая
функция x
=x
(w
), w
W
, такая, что
при любом действительном x 
.
Событие принято записывать в виде x < x . В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x , h , z , …
Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I =).
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения .
Если x .- случайная величина, то функция F (x ) = F x (x ) = P (x < x ) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P (x < x ) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x .
Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением .
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x 1 < x 2 < … < x i < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < p i < …, то таблица вида
| x 1 | x 2 | … | x i | … |
| p 1 | p 2 | … | p i | … |
называется распределением дискретной случайной величины .
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Если функция распределения F x (x ) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема , то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p x (x ), которая связана с функцией распределения F x (x ) формулами
и 
.
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .
При решении практических задач часто требуется найти значение x , при котором функция распределения F x (x ) случайной величины x принимает заданное значение p , т.е. требуется решить уравнение F x (x ) = p . Решения такого уравнения (соответствующие значения x ) в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью x p (p -квантилью, квантилью уровня p ) случайной величины , имеющей функцию распределения F x (x ), называют решение x p уравнения F x (x ) = p , p (0, 1). Для некоторых p уравнение F x (x ) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.
Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL .
Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.
Генеральная совокупность и случайная величина
Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.
Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.
Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.
В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.
Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной . По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения , которая обычно обозначается F(x).
Функция распределения
Функцией распределения
вероятностей случайной величины
Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X F(x) = P(X Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая - 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.
Типичный график Функции распределения
для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см. файл примера
): В справке MS EXCEL Функцию распределения
называют Интегральной
функцией распределения
(Cumulative
Distribution
Function
,
CDF
). Приведем некоторые свойства Функции распределения:
Напомним, что плотность распределения
является производной от функции распределения
, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения
>1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере ). Примечание
: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения
, равна 1. Примечание
: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения
. Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП
(x; среднее; стандартное_откл; интегральная
). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения,
то параметр интегральная
, д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности
, то параметр интегральная
, д.б. ЛОЖЬ. Примечание
: Для дискретного распределения
вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности
может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП()
). Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности
для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение. Найдем плотность вероятности
для N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ)
=0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ)
. Напомним, что вероятность
того, что непрерывная случайная величина
примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины
Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b). 1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения
вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5. НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
=1-0,5. 2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения,
вероятность равна F(0)=0,5. В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
=0,5. 3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению
, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
. Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону
N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье функции распределения
найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5. В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(0,5)
=0. Однозначно вычислить значение случайной величины
позволяет свойство монотонности функции распределения.
Обратная функция распределения
вычисляет , которые используются, например, при . Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения
. В файле примера
можно вычислить и другой квантиль
этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84. В англоязычной литературе обратная функция распределения
часто называется как Percent Point Function (PPF). Примечание
: При вычислении квантилей
в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР()
, ЛОГНОРМ.ОБР()
, ХИ2.ОБР(),
ГАММА.ОБР()
и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье .Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL
Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL
Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).
