Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс .
История
В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.
Терминология
В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).
Стохастическое исчисление
Пусть T > 0 {\displaystyle T>0} , и пусть
μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; {\displaystyle \mu:\mathbb {R} ^{n}\times \to \mathbb {R} ^{n};} σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; {\displaystyle \sigma:\mathbb {R} ^{n}\times \to \mathbb {R} ^{n\times m};} E [ | Z | 2 ] < + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях
d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t {\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}} для t ∈ [ 0 , T ] ; {\displaystyle t\in ;} X t = Z ; {\displaystyle X_{t}=Z;}имеет единственное (в смысле «почти наверное») и t {\displaystyle t} -непрерывное решение (t , ω) ∣ → X t (ω) {\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_{t}(\omega)} , такое что X {\displaystyle X} - адаптированный процесс к фильтрации F t Z {\displaystyle F_{t}^{Z}} , генерируемое Z {\displaystyle Z} и B s {\displaystyle B_{s}} , s ≤ t {\displaystyle s\leq t} , и
E [ ∫ 0 T | X t | 2 d t ] < + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}Применение стохастических уравнений
Физика
В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:
x ˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) η m (t) , {\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x})+\sum _{m=1}^{n}g_{i}^{m}(\mathbf {x})\eta _{m}(t),}где x = { x i | 1 ≤ i ≤ k } {\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}} - набор неизвестных, f i {\displaystyle f_{i}} и - произвольные функции, а η m {\displaystyle \eta _{m}} - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если g i {\displaystyle g_{i}} - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда g (x) ∝ x {\displaystyle g(x)\propto x} . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.
В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям , эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.
Ссылки
- Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
Литература
- Adomian, George. Stochastic systems (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
- Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.) . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Mathematics and its Applications (46)). (англ.)
При создании моделей технологических операций и процессов приходится сталкиваться с такими случаями, когда моделируемое яв- ление не удается описать в виде детерминированных функциональ- ных связей. Причиной этому могут быть как сильное влияние различ- ных случайных возмущений, так и принципиально случайный характер самого явления, т.е. интересующее нас явление не искажено помехами, а вызвано совместным действием различных случайных факторов.
Наиболее типичным случайным явлением являются отказы обо- рудования и элементов автоматики в период их нормальной эксплуа-
тации. С одной стороны, опыт показывает, что рано или поздно, с
большей или меньшей интенсивностью отказывают большинство де- талей или электронных узлов, а с другой - совершенно невозможно предсказать точно момент времени, когда произойдет отказ.
Очевидно, можно говорить лишь о вероятности наступления од- ного или нескольких отказов в определенном интервале времени либо
o том, что время безотказной работы (число отказов равно нулю) не
превысит определенного значения.
Аналогичная постановка вопроса справедлива применительно к погрешностям измерения параметра. В силу целого ряда случайных
факторов невозможно предсказать, какова будет погрешность при
конкретном измерении, хотя ясно, что она не бывает больше какого- то значения и что существует понятие средней погрешности по конечной совокупности измерений. Случайным можно также представить отклонение параметров заготовок и даже готовых деталей от нормативных. При этом для годных изделий эти отклонения находятся в пределах допусков, для бракованных превышают допуск.
В рассмотренных случаях, особенно при взаимодействии и взаи- мовлиянии различных случайных факторов, поведение интересующе- го нас параметра и его значение не могут быть представлены как функция взаимодействия средних значений определяющих его факто- ров. Конечный результат должен быть получен в виде случайной ве- личины как результат взаимодействия случайных факторов в повто- ряющихся реализациях процесса. Только после статистической обработки полученных результатов можно говорить об оценке сред- него значения и разброса. Такая модель процесса в отличие от детер- минированной называется стохастической (случайной).
Стохастические модели также отражают объективные законо- мерности, присущие данному процессу, однако представление их в
виде детерминированных функций либо невозможно, либо нецелесо-
образно на данном этапе. Для их представления используется аппарат случайных функций, когда случайные явления и процессы характери- зуются случайными величинами, подчиняющимися вероятностным законам.
Статистически устойчивые (достоверные) результаты модели- рования случайных явлений и процессов могут быть получены лишь по достаточно большому числу реализаций (опытов), причем, чем больше разброс значений случайной величины, тем большее число реализаций требуется. Реально такое моделирование возможно лишь с использованием быстродействующих ЭВМ.
Для этой цели ЭВМ должна иметь возможность:
Генерировать последовательность случайных чисел с за- данными законом распределения и параметрами (матема-
тическое ожидание, дисперсия и т.п.);
Вычислять вероятность наступления случайного события, подчиняющегося определенному закону, в заданном ин-
тервале времени;
Воспроизводить факт наступления случайного события и т.д.
Во всех указанных случаях необходимо знать закон распределе- ния случайной величины или события и его параметры. Необходимые
для этого данные получают, проводя натурный эксперимент по реализации подобного явления. Статистическая обработка такого эксперимента позволяет не только выявить статистические закономерности случайного явления, но и оценить достоверность результатов в зависимости от объема эксперимента (числа реализаций).
Начальным этапом обработки экспериментальных данных явля- ется построение вариационного ряда и гистограммы. Для этого фик- сируется ряд значений дискретной случайной величины х (например, число бракованных деталей за одну смену) в течение п смен. Сово- купность значений называется выборкой или статистическим рядом.
Располагая разные измеренные значения в порядке возрастания, получаем вариационный ряд. Далее составляем таблицу частот, в ко- торой каждому значению из вариационного ряда хi, ставится в соот- ветствие экспериментальная частота наблюдавшегося явления:
Число смен, когда было хi , бракованных деталей;
Общее число смен, когда проводились наблюдения.
Если случайная величина непрерывна (погрешность измерения), то ее экспериментальные значения представляются в виде интерваль-
ной таблицы частот, в которой указаны интервалы
сi − ci +1 значений
случайной величины, а также, как и для дискретной величины, часто-
ты попадания ее в этот интервал
- число значений случайной величины, не выходящих
за пределы i -го интервала;
величины.
Общее число зафиксированных значений случайной
По данным интервальной таблицы строят гистограмму, пред- ставляющую собой ряд сопряженно-расположенных на горизонталь- ной оси прямоугольников, основание которых равно интервалу
сi − ci +1
значений случайной величины, а площадь равна
Построив графики по данным таблицы частот или гистограммы, можно по их виду предложить гипотезу о соответствии данных опыта тому или иному закону. После этого проводится проверка степени со- ответствия экспериментальных данных предполагаемому закону. Проверка производится с использованием различных критериев со- гласия. Наиболее распространенным является критерий χ2 (хи- квадрат) Пирсона.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Пример построения стохастической модели процесса
В процессе функционирования банка очень часто возникает необходимость в решении проблемы выбора вектора активов, т.е. инвестиционного портфеля банка, и неопределенные параметры, которые необходимо учитывать в этой задаче, связаны в первую очередь с неопределенностью цен на активы (ценные бумаги, реальные вложения и т.д.). В качестве иллюстрации можно привести пример с формированием портфеля государственных краткосрочных обязательств.
Для задач данного класса принципиальный вопрос - это построение модели стохастического процесса изменения цен, поскольку в распоряжении исследователя операции, естественно, имеется только конечный ряд наблюдений реализаций случайных величин - цен. Далее излагается один из подходов к решению этой проблемы, который развивается в ВЦ РАН в связи с решением задач управления стохастическими марковскими процессами.
Рассматриваются М видов ценных бумаг, i =1,… , M , которые торгуются на специальных биржевых сессиях. Бумаги характеризуются величинами - выраженными в процентах доходностями в течение текущей сессии. Если бумага вида в конце сессии покупается по цене и продается в конце сессии по цене, то.
Доходности - это случайные величины, формирующиеся следующим образом. Предполагается существование базовых доходностей - случайных величин, образующих марковский процесс и определяемых по следующей формуле:
Здесь, - константы, а - стандартные нормально распределенные случайные величины (т.е. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией).
где - некоторый масштабный коэффициент равный (), а - случайная величина, имеющая смысл отклонения от базового значения и определяемая аналогично:
где - также, стандартные нормально распределенные случайные величины.
Предполагается, что некоторая оперирующая сторона, называемая в дальнейшем оператором, в течение некоторого времени управляет своим капиталом, вложенным в бумаги (во всякий момент в бумагу ровно одного вида), продавая их в конце текущей сессии и тут же покупая на вырученные деньги другие бумаги. Управление, выбор приобретаемых бумаг, производится по алгоритму, зависящему от информированности оператора о процессе, формирующем доходности бумаг. Нами будут рассматриваться различные гипотезы об этой информированности и, соответственно, различные алгоритмы управления. Будем предполагать, что исследователь операции, разрабатывает и оптимизирует алгоритм управления, используя имеющийся ряд наблюдений за процессом, т.е., используя информацию о ценах закрытия на биржевых сессиях, а также, возможно, и о величинах, на некотором промежутке времени, соответствующем сессиям с номерами. Целью экспериментов является сравнение оценок ожидаемой эффективности различных алгоритмов управления с их теоретическим математическим ожиданием в условиях, когда алгоритмы настраиваются и оцениваются на одном и том же ряду наблюдений. Для оценки теоретического математического ожидания используется метод Монте-Карло «прогонкой» управления по достаточно объемному сгенерированному ряду, т.е. по матрице размерности, где столбцы соответствуют реализациям значений и по сессиям, а число определяется вычислительными возможностями, но при условии, чтобы элементов матрицы было не менее 10000. Необходимо, чтобы «полигон» был одним и тем же во всех проводимых экспериментах. Имеющийся ряд наблюдений имитирует сгенерированная матрица размерности, где значения в ячейках имеют тот же смысл, что и выше. Число и значения в этой матрице будут в дальнейшем варьироваться. Матрицы обоих видов формируются посредством процедуры генерации случайных чисел, имитирующей реализацию случайных величин, и расчета по этим реализациям и формулам (1) - (3) искомых элементов матриц.
Оценка эффективности управления на ряду наблюдений производится по формуле
где - индекс последней сессии в ряду наблюдений, а - номер облигаций, выбранных алгоритмом на шаге, т.е. того вида облигаций, в которых, согласно алгоритму, будет находиться капитал оператора в течение сессии. Кроме того, будем рассчитывать также месячную эффективность. Число 22 приблизительно соответствует числу торговых сессий за месяц.
Вычислительные эксперименты и анализ результатов
Гипотезы
Точное знание оператором будущих доходностей.
Индекс выбирается как. Этот вариант дает верхнюю оценку для всех возможных алгоритмов управления, даже в случае, если дополнительная информация (учет каких-то дополнительных факторов) позволит уточнить модель прогноза цен.
Случайное управление.
Оператор не знает закона ценообразования и проводит операции случайным выбором. Теоретически, в данной модели математическое ожидание результата операций совпадает с тем, как если бы оператор вкладывал капитал не в одну бумагу, а во все поровну. При нулевых математических ожиданиях величин математическое ожидание величины равно 1. Расчеты по данной гипотезе полезны только в том смысле, что позволяют в некоторой степени проконтролировать корректность написанных программ и сгенерированной матрицы значений.
Управление при точном знании модели доходностей, всех ее параметров и наблюдаемой величины .
В этом случае оператор в конце сессии, зная значения и для сессий, и, а в наших расчетах, используя строки, и, матрицы, вычисляет по формулам (1) - (3) математические ожидания величин и выбирает для покупки бумагу с наибольшей из этих значений величин.
где, согласно (2), . (6)
Управление при знании структуры модели доходностей и наблюдаемой величине , но неизвестных коэффициентах .
Будем предполагать, что исследователь операции не только не знает значения коэффициентов, но не знает и число влияющих на формирование величин, предшествующих значений этих параметров (глубину памяти марковских процессов). Не знает также, одинаковы или различны коэффициенты при разных значениях. Рассмотрим различные варианты действий исследователя - 4.1, 4.2, и 4.3, где второй индекс обозначает предположение исследователя о глубине памяти процессов (одинаковой для и). К примеру, в случае 4.3 исследователь предполагает, что формируется согласно уравнению
Здесь, для полноты описания, добавлен свободный член. Однако, этот член может быть исключен либо из содержательных соображений, либо статистическими методами. Поэтому для упрощения расчетов мы в дальнейшем свободные члены при настройке параметров из рассмотрения исключаем и формула (7) приобретает вид:
В зависимости от того, предполагает ли исследователь одинаковыми или различными коэффициенты при разных значениях, будем рассматривать подслучаи 4.m. 1 - 4.m. 2, m = 1 - 3. В случаях 4.m. 1 коэффициенты будут настраиваться по наблюденным значениям для всех бумаг вместе. В случаях 4.m. 2 коэффициенты настраиваются для каждой бумаги отдельно, при этом исследователь работает в рамках гипотезы, что коэффициенты, различны при разных и, к примеру, в случае 4.2.2. значения определяются модифицированной формулой (3)
Первый способ настройки - классический метод наименьших квадратов. Рассмотрим его на примере настройки коэффициентов при в вариантах 4.3.
Согласно формуле (8),
Требуется найти такие значения коэффициентов, чтобы минимизировать выборочную дисперсию для реализаций на известном ряду наблюдений, массиве при условии, что математическое ожидание значений определяется формулой (9).
Здесь и в дальнейшем знак «» указывает на реализацию случайной величины.
Минимум квадратичной формы (10) достигается в единственной точке, в которой все частные производные равны нулю. Отсюда получаем систему трех алгебраических линейных уравнений:
решение которой дает искомые значения коэффициентов.
После того как коэффициенты верифицированы, выбор управлений проводится так же, как и в случае 3.
Замечание. Для того, чтобы облегчить работу над программами, принято процедуру выбора управления, описанную для гипотезы 3, сразу писать, ориентируясь не на формулу (5), а на ее модифицированный вариант в виде
При этом в расчетах для случаев 4.1.m и 4.2.m, m = 1, 2, лишние коэффициенты обнуляются.
Второй способ настройки состоит в выборе значений параметров так, чтобы максимизировать оценку из формулы (4). Задача эта аналитически и вычислительно безнадежно сложна. Поэтому здесь можно говорить только о приемах некоторого улучшения значения критерия относительно исходной точки. За исходную точку можно взять значения, полученные методом наименьших квадратов, и затем произвести обсчет вокруг этих значений по сетке. При этом последовательность действий такова. Сначала обсчитывается сетка на параметрах (квадрат или куб) при фиксированных остальных параметрах. Затем для случаев 4.m. 1 обсчитывается сетка на параметрах, а для случаев 4.m. 2 на параметрах при фиксированных остальных параметрах. В случае 4.m. 2 далее так же оптимизируются параметры. Когда этим процессом исчерпываются все параметры, процесс повторяется. Повторения производятся до тех пор, пока новый цикл дает улучшение значений критерия по сравнению с предыдущим. Чтобы число итераций не оказалось слишком большим, применим следующий прием. Внутри каждого блока расчетов на 2-х или 3-х-мерном пространстве параметров сначала берется достаточно грубая сетка, затем, если лучшая точка оказывается на краю сетки, то исследуемый квадрат (куб) сдвигается и расчет повторяется, если же лучшая точка внутренняя, то строится новая сетка вокруг этой точки с меньшим шагом, но с тем же общим числом точек, и так некоторое, но разумное число раз.
Управление при ненаблюдаемом и без учета зависимости между доходностями разных бумаг.
Имеется в виду, что исследователь операции не замечает зависимости между разными бумаги, ничего не знает о существовании и пытается прогнозировать поведение каждой бумаги по отдельности. Рассмотрим, как обычно, три случая, когда исследователь моделирует процесс формирования доходностей в виде марковского процесса глубиной 1, 2, и 3:
Коэффициенты для прогноза ожидаемой доходности не важны, а коэффициенты настраиваются двумя способами, описанными в п. 4. Управления выбираются, аналогично тому, как это делалось выше.
Замечание: Так же, как и для выбора управления, для метода наименьших квадратов имеет смысл написать единую процедуру с максимальным числом переменных - 3. Если настраиваемые переменные, скажем, то для из решения линейной системы выписывается формула, в которую входят только константы, определяется через, а через и. В случаях, когда переменных меньше чем три, значения лишних переменных обнуляются.
Хотя расчеты в различных вариантах проводятся сходным образом, число вариантов довольно велико. Когда подготовка инструментов для расчетов во всех перечисленных вариантах оказывается затруднительным, рассматривается на экспертном уровне вопрос о сокращении их числа.
Управление при ненаблюдаемом с учетом зависимости между доходностями разных бумаг.
Это серия экспериментов имитирует те манипуляции, которые были произведены в задаче с ГКО . Мы предполагаем, что исследователь практически ничего не знает о механизме формирования доходностей. Он располагает только рядом наблюдений, матрицей. Из содержательных соображений он делает предположение о взаимозависимости текущих доходностей разных бумаг, группирующихся около некоторой базовой доходности, определяемой состоянием рынка в целом. Рассматривая графики доходностей бумаг от сессии к сессии, он делает предположение, что в каждый момент времени точки, координатами которых являются номера бумаг и доходности (в реальности это были сроки до погашения бумаг и их цены), группируются возле некоторой кривой (в случае с ГКО - параболы).
Здесь - точка пересечения теоретической прямой с осью ординат (базовая доходность), а - ее наклон (то, что должно быть равным 0.05).
Построив таким образом теоретические прямые, исследователь операции может рассчитать значения - отклонения величин от их теоретических значений.
(Заметим, что здесь имеют несколько иной смысл, чем в формуле (2). Отсутствует размерный коэффициент, и рассматриваются отклонения не от базового значения, а от теоретической прямой.)
Следующей задачей является прогноз значений по известным в момент значениям, . Поскольку
для прогноза значений исследователю требуется ввести гипотезу о формировании величин, и. По матрице исследователь может установить значительную корреляцию между величинами и. Можно принять гипотезу о линейной зависимости между величинами от: . Из содержательных соображений коэффициент сразу полагается равным нулю, и методом наименьших квадратов ищется в виде:
Далее, как и выше и моделируются посредством марковского процесса и описываются формулами, аналогичными (1) и (3) с разным числом переменных в зависимости от глубины памяти марковского процесса в рассматриваемом варианте. (здесь определяется не по формуле (2), а по формуле (16))
Наконец, как и выше реализуются два способа настройки параметров методом наименьших квадратов, и посредством непосредственной максимизации критерия и делаются оценки.
Эксперименты
Для всех описанных вариантов рассчитывались оценки критериев, при разных матрицах. (матрицы с числом строк 1003, 503, 103 и для каждого варианта размерности реализовывались порядка ста матриц). По результатам расчетов для каждой размерности оценивались математическое ожидание и дисперсия величин, и их отклонение от величин, для каждого из подготовленных вариантов.
Как показали первые серии вычислительных экспериментов при малом числе настраиваемых параметров (порядка 4), выбор метода настройки не оказывает существенного влияния на значение критерия в задаче.
2. Классификация средств моделирования
стохастический моделирование банк алгоритм
Классификация методов моделирования и моделей может проводиться по степени подробности моделей, по характеру признаков, по сфере приложения и т.д.
Рассмотрим одну из распространенных классификаций моделей по средствам моделирования, именно этот аспект является наиболее важным при анализе различных явлений и систем.
материальным в том случае, когда исследование ведется на моделях, связь которых с исследуемым объектом существует объективно, имеет материальный характер. Модели в этом случае строятся исследователем либо выбирается им из окружающего мира.
По средствам моделирования методы моделирования делятся на две группы: методы материального и методы идеального моделирования Моделирование называется материальным в том случае, когда исследование ведется на моделях, связь которых с исследуемым объектом существует объективно, имеет материальный характер. Модели в этом случае строятся исследователем либо выбирается им из окружающего мира. В свою очередь в материальном моделировании можно выделить: пространственное, физическое и аналоговое моделирование.
В пространственном моделировании используются модели, предназначенные для того, чтобы воспроизвести или отобразить пространственные свойства изучаемого объекта. Модели в этом случае геометрически подобны объектам исследования (любые макеты).
Модели, используемые в физическом моделировании предназначены для воспроизводства динамики процессов, происходящих в изучаемом объекте. Причем общность процессов в объекте исследования и модели основана на сходстве их физической природы. Этот метод моделирования широко распространен в технике при проектировании технических систем различного вида. Например, исследование летательных аппаратов на основе экспериментов в аэродинамической трубе.
Аналоговое моделирование связано с использованием материальных моделей, имеющих другую физическую природу, но описывающихся теми же математическими соотношениями, что и изучаемый объект. Оно основано на аналогии в математическом описании модели и объекта (изучение механических колебаний с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями, но более удобной в проведении экспериментов).
Во всех случаях материального моделирования модель-это материальное отражение исходного объекта, а исследование состоит в материальном воздействии на модель, то есть в эксперименте с моделью. Материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом и в экономических исследованиях не используется.
От материального моделирования принципиально отличается идеальное моделирование , основанное на идеальной, мыслимой связи между объектом и моделью. Методы идеального моделирования широко используются в экономических исследованиях. Их условно можно разделить на две группы: формализованное и неформализованное.
В формализованном моделировании моделью служат системы знаков или образов, вместе с которыми задаются правила их преобразования и интерпретации. Если в качестве моделей используются системы знаков, то моделирование называется знаковым (чертежи, графики, схемы, формулы).
Важным видом знаковой моделирования является математическое моделирование , основанное на том факте, что различные изучаемые объекты и явления могут иметь одинаковое математическое описание в виде совокупности формул, уравнений, преобразование которых осуществляется на основе правил логики и математики.
Другой формой формализованного моделирования является образное, в котором модели строятся на наглядных элементах (упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел). Анализ образных моделей осуществляется мысленно, поэтому они могут быть отнесены к формализованному моделированию, когда правила взаимодействия объектов, используемых в модели четко фиксированы (например, в идеальном газе столкновение двух молекул рассматривается, как соударение шаров, причем результат соударения мыслится всеми одинаково). Модели такого типа широко используются в физике, их принято называть «мысленными экспериментами».
Неформализованное моделирование. К нему можно отнести такой анализ проблем разнообразного типа, когда модель не формируется, а вместо нее используется некоторое точно не зафиксированное мысленное отображение реальной действительности, служащее основой для рассуждения и принятия решения. Таким образом, всякое рассуждение не использующее формальную модель можно считать неформализованным моделированием, когда у мыслящего индивидуума имеется некоторый образ объекта исследования, который можно интерпретировать как неформализованную модель реальности.
Исследование экономических объектов в течение долгого времени проводилось только на основе таких неопределенных представлений. В настоящее время анализ неформализованных моделей остается наиболее распространенным средством экономического моделирования, а именно всякий человек, принимающий экономическое решение без использования математических моделей вынужден руководствоваться тем или иным описанием ситуации, основанной на опыте и интуиции.
Основным недостатком этого подхода является то, что решения может оказаться мало эффективным или ошибочным. Еще долгое время, по-видимому, эти методы останутся основным средством принятия решений не только в большинстве обыденных ситуаций, но и при принятий решений в экономике.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Принципы и этапы построения модели авторегрессии, ее основные достоинства. Спектр процесса авторегрессии, формула для ее нахождения. Параметры, характеризующие спектральную оценку случайного процесса. Характеристическое уравнение модели авторегрессии.
контрольная работа , добавлен 10.11.2010
Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.
реферат , добавлен 11.02.2011
Исследование особенностей разработки и построения модели социально-экономической системы. Характеристика основных этапов процесса имитации. Экспериментирование с использованием имитационной модели. Организационные аспекты имитационного моделирования.
реферат , добавлен 15.06.2015
Понятие имитационного моделирования, применение его в экономике. Этапы процесса построения математической модели сложной системы, критерии ее адекватности. Дискретно-событийное моделирование. Метод Монте-Карло - разновидность имитационного моделирования.
контрольная работа , добавлен 23.12.2013
Методологические основы эконометрики. Проблемы построения эконометрических моделей. Цели эконометрического исследования. Основные этапы эконометрического моделирования. Эконометрические модели парной линейной регрессии и методы оценки их параметров.
контрольная работа , добавлен 17.10.2014
Этапы построения деревьев решений: правило разбиения, остановки и отсечения. Постановка задачи многошагового стохастического выбора в предметной области. Оценка вероятности реализации успешной и неуспешной деятельности в задаче, ее оптимальный путь.
реферат , добавлен 23.05.2015
Определение, цели и задачи эконометрики. Этапы построения модели. Типы данных при моделировании экономических процессов. Примеры, формы и моделей. Эндогенные и экзогенные переменные. Построение спецификации неоклассической производственной функции.
презентация , добавлен 18.03.2014
Основной тезис формализации. Моделирование динамических процессов и имитационное моделирование сложных биологических, технических, социальных систем. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств. Выбор формы представления модели.
реферат , добавлен 09.09.2010
Основные этапы математического моделирования, классификация моделей. Моделирование экономических процессов, основные этапы их исследования. Системные предпосылки формирования модели системы управления маркетинговой деятельностью предприятия сферы услуг.
реферат , добавлен 21.06.2010
Общая схема процесса проектирования. Формализация построения математической модели при проведении оптимизации. Примеры использования методов одномерного поиска. Методы многомерной оптимизации нулевого порядка. Генетические и естественные алгоритмы.
Классическое определение вероятности
Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов. Определение вероятностного пространства, алгебры, событий. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов. Число элементарных исходов, когда происходит выбор с возвращением/без возвращения, выборки упорядоченные/неупорядоченные. Связь с задачей подсчета числа размещений дробинок по ячейкам. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов (задача о совпадениях, выигрыш в лотерею). Биномиальное распределение. Мультиномиальное распределение. Многомерное гипергеометрическое распределение.
Условные вероятности. Независимость. Условное математическое ожидание.
Определение условной вероятности, свойства. Формула полной вероятности. Формула Байеса, теорема Байеса. Определение независимости событий. Пример, что из попарное независимости событий вообще говоря не следует их независимости. Схема Бернулли.
Дискретные случайные величины и их характеристики
Распределение случайной величины. Свойства функции распределения случайной величины. Определение математического ожидания, дисперсии, ковариации и корреляции, свойства. Наилучший в среднеквадратичном линейный прогноз значений одной случайной величины по значений другой случайной величины.
Предельные теоремы
Схема Бернулли. Неравенство Чебышева, следствия. Закон больших чисел Бернулли. Предельные теоремы (локальная, Муавра-Лапласа, Пуассона).
Случайное блуждание
Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты. Принцип отражения. Закон арксинуса.
Мартингалы
Определение. Примеры мартингалов. Определение момента остановки. Тождества Вальда.
Дискретные марковские цепи. Эргодическая теорема.
Общее определение марковского процесса. Определение дискретной марковской цепи. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Однородная марковская цепь. Классификация состояний марковской цепи (несущественные, возвратные, сообщающиеся, нулевые, периодические, эргодические состояния), теорема о "солидарности" их свойств. Неразложимая дискретная марковская цепь. Необходимое и достаточное условие возвратности состояния однородной дискретной марковской цепи. Определение эргодичной дискретной марковской цепи. Стационарное распределение. Эргодическая теорема в случае однородной дискретной марковской цепи.
Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом событий. Аксиоматика Колмогорова. Разные виды сходимости случайных величин.
Аксиоматика Колмогорова. Алгебры и сигма-алгебры. Измеримые пространства (R, B(R)), (Rd, B(Rd)), (R∞, B(R∞)) и (RT, B(RT)), где T - произвольное множество. Примеры дискретных мер, примеры абсолютно непрерывных мер. Многомерное нормальное распределение. Теорема Колмогорова о продолжении мер в (R∞, B(R∞)) (без доказательства). Определение случайной величины и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Построение интеграла Лебега. Математическое ожидание, свойства. Теорема о монотонной сходимости, лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости (без доказательства). Семейство равномерное интегрируемых случайных величин, достаточное условие равномерной интегрируемости. Неравенство Чебышева, Коши-Буняковского, Иенсена, Ляпунова, Гёльдера, Минковского. Теорема Радона-Никодима (без доказательства). Определение условного математического ожидания и условной вероятности, свойства. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин, определения, соотношения разных видов сходимости друг с другом, контрпримеры. Лемма Бореля-Кантелли. Определение характеристической функции, свойства, примеры.
Математические схемы описания технических систем
Общая классификация моделей систем
Все то на что направлена человеческая деятельность называется объектом . Определяя роль теории моделирования в процессе изучения объектов, а значит их моделей, необходимо отвлечься от их разнообразия и выделить общее, что присуще моделям различных по своей природе объектов. Этот подход привел к появлению общей классификации моделей систем.
Создаваемые модели систем классифицируются:
· по времени
* динамические модели: непрерывные, которые описываются дифференциальными уравнениями; дискретно–непрерывные (разностные), описываются разностными уравнениями; вероятностные, построенные на событиях – модели теории массового обслуживания;
* дискретные модели – автоматы;
· по признаку случайности :
* детерминированные – модели отражающие процессы, в которых отсутствуют всякие случайные воздействия;
* стохастические – модели отражающие вероятностные процессы и события;
· по назначению :
· по виду обрабатываемой информации :
* информационные: - справочно-информационные;
Информационно -советующие;
Экспертные;
Автоматические;
* физические модели: - натурные (плазма);
Полунатурные (аэродинамические трубы);
* имитационные модели;
* интеллектуальные модели;
* семантические (логические) модели;
Перейдем к рассмотрению основных видов математических схем .
1.3.1. Непрерывно–детерминированные модели (D – схемы)
Математические схемы такого вида отражают динамику процессов, протекающих во времени в системе. Поэтому они называются D– схемы. Частным случаем динамических систем являются системы автоматического управления .
Линейная автоматическая система описывается линейным дифференциальным уравнением вида
где x(t) - задающее воздействие или входная переменная системы; y(t) - состояние системы или выходная переменная; - коэффициенты; t - время.
На рис.1 представлена укрупненная функциональная схема системы автоматического управления, где – сигнал ошибки; - управляющее воздействие; f(t) - возмущающее воздействие. Данная система основана на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения выходной переменной y(t) к ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. По ней можно разработать структурную схему и математическую модель в виде передаточной функции или в виде дифференциального уравнения (1.1), в котором для простоты предполагается, что точки приложения возмущающих воздействий совпадают с входом системы.
Рис.1.1. Структура системы автоматического управления
Непрерывно- детерминированные схемы (D- схемы) выполняются на аналоговых вычислительных машинах (АВМ).
1.3.2. Дискретно–детерминированные модели (F – схемы)
Основным видом дискретно–детерминированных моделей является конечный автомат.
Конечным автоматом называют дискретный преобразователь информации, способный под воздействием входных сигналов переходить из одного состояния в другое и формировать сигналы на выходе. Это автомат с памятью . Для организации памяти в описание автомата вводят автоматное время и понятие состояние автомата .
Понятие «состояние» автоматаозначает, что выходной сигнал автомата зависит не только от входных сигналов в данный момент времени, но и учитывает входные сигналы, поступающие ранее. Это позволяет устранить время как явную переменную и выразить выходные сигналы как функцию состояний и входных сигналов.
Всякий переход автомата из одного состояния в другое возможен не ранее, чем через дискретный интервал времени. Причем сам переход считается, происходит мгновенно, то есть не учитывают переходные процессы в реальных схемах.
Существует два способа введения автоматного времени по которому автоматы делятся на синхронные и асинхронные .
В синхронных автоматах моменты времени, в которых фиксируются изменения состояний автомата, задаются специальным устройством – генератором синхросигналов. Причем сигналы поступают через равные интервалы времени – . Частота тактового генератора выбирается такой, чтобы любой элемент автомата успел закончить свою работу до появления очередного импульса.
В асинхронном автомате моменты перехода автомата из одного состояния в другое заранее не определены и зависят от конкретных событий. В таких автоматах интервал дискретности является переменным.
Также существуют детерминированные и вероятностные автоматы.
В детерминированных автоматах поведение и структура автомата в каждый момент времени однозначно определены текущей входной информацией и состоянием автомата.
В вероятностных автоматах они зависят от случайного выбора.
Абстрактно конечный автомат можно представить как математическую схему (F – схему), которая характеризуется шестью видами переменных и функций:
1) конечное множество x(t) входных сигналов (входной алфавит);
2) конечное множество y(t) выходных сигналов (выходной алфавит);
3) конечное множество z(t) внутренних состояний (алфавит состояний);
4) начальное состояние автомата z 0 , ;
5) функция переходов автомата из одного состояния в другое;
6) функция выходов автомата.
Абстрактный конечный автоматимеет один вход и один выход. В каждый дискретный момент времени t=0,1,2,... F– автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z – состояний автомата, причем в начальный момент времени t=0 он всегда находится в начальном состоянии z(0)=z 0 . В момент t , будучи в состоянии z(t) , автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал , переходя в состояние
Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного алфавита Y , то есть, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z 0 , подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита , которые составляют входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита образуя выходное слово.
Следовательно, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: на каждом t – ом такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t) , подается некоторый сигнал x(t) , на который автомат реагирует переходом на (t+1)– ом такте в новое состояние z(t+1) и выдачей некоторого выходного сигнала.
В зависимости от способа определения выходного сигнала синхронные абстрактные конечные автоматы подразделяются на два типа:
F – автомат первого рода, также называется автомат Мили :
F – автомат второго рода:
Автомат второго рода, для которого
называется автомат Мура – функция выходов не зависит от входной переменной x(t) .
Чтобы задать конечный F – автомат, необходимо описать все элементы множества .
Существует несколько способов задания работы F – автоматов среди которых наибольшее применение нашли табличный, графический и матричный.
1.3.3. Дискретно – непрерывные модели
Процессы в линейных импульсных и цифровых системах автоматического управления описываются дискретно – разностными уравнениями вида:
где x(n) –решетчатая функция входного сигнала; y(n) –решетчатая функция выходного сигнала, которая определяется решением уравнения (1.2); b k – постоянные коэффициенты; – разность к – го порядка; t=nT , где nT – n– ый момент времени, T – период дискретности (в выражении (1.2) он условно принят за единицу).
Уравнение (1.2) можно представить в другом виде:
Уравнение (1.3) представляет собой рекуррентное соотношение, которое позволяет вычислить любой (i+1) –й член последовательности по значениям предыдущих её членов i,i-1,... и значению x(i+1).
Основным математическим аппаратом моделирования цифровых автоматических систем является Z– преобразование, которое базируется на дискретном преобразовании Лапласа. Для этого необходимо найти импульсную передаточную функцию системы, задаться входной переменной и, варьируя параметрами системы, можно найти лучший вариант проектируемой системы.
1.3.4. Дискретно – стохастические модели (Р - схемы)
К дискретно – стохастической модели относится вероятностный автомат . В общем, виде вероятностный автомат является дискретным потактным преобразователем информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Поведение автомата зависит от случайного выбора.
Применение схем вероятностных автоматов имеет важное значение для проектирования дискретных систем, в которых проявляется статистически закономерное случайное поведение.
Для Р – автомата вводится аналогичное математическое понятие, как и для F – автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (x i ,z s) , где x i и z s элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , что с их помощью осуществляется отображение и , то говорят, что определяет автомат детерминированного типа.
Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а распределение вероятностей на множестве состояний
(автомат со случайными переходами). Функция выходов также есть распределение вероятностей на множестве выходных сигналов (автомат со случайными выходами).
Для описания вероятностного автомата введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (z k ,y j) , где y j – элемент выходного подмножества Y . Далее потребуем чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:
элементы из Ф...
где – вероятности перехода автомата в состояние z k и появления на выходе сигнала y j , если он был в состоянии z s и на его вход в этот момент времени поступал сигнал x i .
Число таких распределений, представленных в виде таблиц равно числу элементов множества G. Если обозначить это множество таблиц через В, то тогда четверку элементов называют вероятностным автоматом (Р – автоматом). При этом .
Частным случаем Р– автомата, задаваемого как являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано(Z– детерминированный вероятностный автомат, Y–- детерминированный вероятностный автомат соответственно).
Очевидно, что с точки зрения математического аппарата задание Y – детерминированного Р – автомата эквивалентно заданию некоторой марковской цепи с конечным множеством состояний. В связи с этим аппарат марковских цепей является основным при использовании Р– схем для аналитических расчетов. Подобные Р– автоматы используют генераторы марковских последовательностей при построении процессов функционирования систем или воздействий внешней среды.
Марковские последовательности , согласно теореме Маркова, –это последовательность случайных величин, для которой справедливо выражение
где N – количество независимых испытаний; D–- дисперсия.
Такие Р– автоматы (Р– схемы) могут быть использованы для оценки различных характеристик исследуемых систем как для аналитических моделей, так и для имитационных моделей с использованием методов статистического моделирования.
Y – детерминированный Р– автомат можно задать двумя таблицами: переходов (табл.1.1) и выходов (табл.1.2).
Таблица 1.1
Где P ij – вероятность перехода Р– автомата из состояния z i в состояние z j , при этом .
Таблицу 1.1 можно представить в виде квадратной матрицы размерности . Такую таблицу будем называть матрицей переходных вероятностей или просто матрицей переходов Р- автомата , которую можно представить в компактной форме:
Для описания Y– детерминированного Р–автомата необходимо задать начальное распределение вероятностей вида:
| Z... | z 1 | z 2 | ... | z k-1 | z k |
| D... | d 1 | d 2 | ... | d k-1 | d k |
где d k– вероятность того, что в начале работы Р– автомат находится в состоянии z k , при этом .
И так, до начала работы Р– автомат находится в состоянии z 0 и в начальный (нулевой) такт времени меняет состояние в соответствии с распределением D. После этого смена состояний автомата определяется матрицей переходов Р. С учетом z 0 размерность матрицы Р р следует увеличить до , при этом первая строка матрицы будет (d 0 ,d 1 ,d 2 ,...,d k) , а первый столбец будет нулевым.
Пример. Y– детерминированный Р– автомат задан таблицей переходов:
Таблица 1.3
и таблицей выходов
Таблица 1.4
| Z | z 0 | z 1 | z 2 | z 3 | z 4 |
| Y |
С учетом таблицы 1.3 граф переходов вероятностного автомата представлен на рис.1.2.
Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого автомата в состоянии z 2 и z 3 , т.е. когда на выходе автомата появляются единицы.
Рис. 1.2. Граф переходов
При аналитическом подходе можно использовать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. Причем начальное состояние можно не учитывать в виду того, что начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда таблица 1.3 примет вид:
где – финальная вероятность пребывания Y– детерминированного Р– автомата в состоянии z k .
В результате получаем систему уравнений:
К данной системе следует добавить условие нормировки:
Теперь решая систему уравнений (1.4) совместно с (1.5), получаем:
Таким образом, при бесконечной работе заданного автомата на его выходе будет формироваться двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной: .
Кроме аналитических моделей в виде Р– схем можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования.
1.3.5. Непрерывно–стохастические модели (Q– схемы)
Такие модели рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания, которые называют Q– схемами . Такие Q– схемы применяются при формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания .
К процессам обслуживания можно отнести: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов сети ЭВМ. Характерным признаком для функционирования таких систем или сетей является случайное появление заявок на обслуживание. Причем в любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания и, собственно, сам процесс обслуживания заявки. Представим это в виде некоторого i-го прибора обслуживания П i (рис.1.3), состоящего из накопителя заявок Н i , в котором может находится одновременно заявок; К i – канал обслуживания заявок.
На каждый элемент прибора П i поступают потоки событий, в накопитель Н i поток заявок , на канал К i – поток обслуживания И i .
Рис.1.3. Прибор обслуживания
Потоки событий могут быть однородными , если он характеризуется только последовательностью поступления этих событий (), или неоднородными , если он характеризуется набором признаков события, например таким набором признаков: источник заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.
Обычно при моделировании различных систем применительно к каналу К i можно считать, что поток заявок на входе К i образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания И i – образует подмножество управляемых переменных.
Те заявки, которые по различным причинам не обслуживаются каналом К i , образуют выходной поток У i .
Эти модели можно отнести к оптимальным стохастическим моделям.
Во многих случаях при построении модели не все условия заранее известны. Эффективность нахождения модели здесь будет зависеть от трех факторов:
Заданных условий х 1 , x 2 ,...,x n ;
Неизвестных условий y 1 ,y 2 ,...,y k ;
Зависящих от нас факторов и 1 ,и 2 ,...,и m , которые необходимо найти.
Показатель эффективности решения такой задачи имеет вид:
Наличие неизвестных факторов y i переводит задачу оптимизации в задачу о выборе решения в условиях неопределенности. Задача становится чрезвычайно сложной.
Особенно задача осложняется для случаев, когда величины y i не обладают статистической устойчивостью, то есть неизвестные факторы y i нельзя изучить с помощью статистических методов. Их законы распределения либо не могут быть получены, либо вовсе не существуют.
В этих случаях рассматриваются комбинации всевозможных значений Y:таким образом, чтобы получить как «наилучшее», так и «наихудшее» сочетания значений переменных y i .
Тогда в качестве критерия оптимизации рассматривается.
